Um RIMA significa modelos de Redes Mover Integradas Autoregressivas. Univariado (vetor único) ARIMA é uma técnica de previsão que projeta os valores futuros de uma série inteiramente baseada em sua própria inércia. Sua principal aplicação é a previsão de curto prazo que requer pelo menos 40 pontos de dados históricos. Isso funciona melhor quando seus dados exibem um padrão estável ou consistente ao longo do tempo com uma quantidade mínima de valores atípicos. Às vezes, chamado Box-Jenkins (após os autores originais), o ARIMA geralmente é superior às técnicas de suavização exponencial quando os dados são razoavelmente longos e a correlação entre observações passadas é estável. Se o dado for curto ou altamente volátil, algum método de suavização poderá ser melhor. Se você não tem pelo menos 38 pontos de dados, você deve considerar algum outro método que o ARIMA. O primeiro passo na aplicação da metodologia ARIMA é verificar a estacionaria. A estacionarização implica que a série permanece em um nível bastante constante ao longo do tempo. Se existe uma tendência, como na maioria das aplicações econômicas ou empresariais, seus dados NÃO são estacionários. Os dados também devem mostrar uma variância constante em suas flutuações ao longo do tempo. Isso é facilmente visto com uma série que é fortemente sazonal e cresce a um ritmo mais rápido. Nesse caso, os altos e baixos da sazonalidade se tornarão mais dramáticos ao longo do tempo. Sem essas condições de estacionaridade, muitos dos cálculos associados ao processo não podem ser computados. Se um gráfico gráfico dos dados indica não-estacionária, então você deve diferenciar a série. A diferenciação é uma excelente maneira de transformar uma série não estacionária em uma estacionária. Isso é feito subtraindo a observação no período atual do anterior. Se essa transformação for feita apenas uma vez para uma série, você diz que os dados foram diferenciados pela primeira vez. Este processo elimina essencialmente a tendência se sua série estiver crescendo a uma taxa bastante constante. Se estiver crescendo a uma taxa crescente, você pode aplicar o mesmo procedimento e diferenciar os dados novamente. Os seus dados seriam então diferenciados em segundo lugar. Autocorrelações são valores numéricos que indicam como uma série de dados está relacionada a si mesma ao longo do tempo. Mais precisamente, ele mede quão fortemente os valores de dados em um número especificado de períodos separados estão correlacionados entre si ao longo do tempo. O número de períodos separados costuma ser chamado de atraso. Por exemplo, uma autocorrelação no intervalo 1 mede como os valores de 1 período separado estão correlacionados entre si ao longo da série. Uma autocorrelação no intervalo 2 mede como os dados separados por dois períodos estão correlacionados ao longo da série. As autocorrelações podem variar de 1 a -1. Um valor próximo a 1 indica uma alta correlação positiva, enquanto um valor próximo de -1 implica uma alta correlação negativa. Essas medidas são mais frequentemente avaliadas através de gráficos gráficos chamados correlagramas. Um correlagram traça os valores de auto-correlação para uma determinada série em diferentes atrasos. Isso é referido como a função de autocorrelação e é muito importante no método ARIMA. A metodologia ARIMA tenta descrever os movimentos em uma série de tempo estacionária como uma função do que são chamados de parâmetros verticais autorregressivos e móveis. Estes são referidos como parâmetros AR (autoregessivos) e MA (médias móveis). Um modelo AR com apenas 1 parâmetro pode ser escrito como. X (t) A (1) X (t-1) E (t) onde X (t) séries temporais sob investigação A (1) o parâmetro autorregressivo da ordem 1 X (t-1) a série temporal atrasou 1 período E (T) o termo de erro do modelo Isso significa simplesmente que qualquer valor X (t) pode ser explicado por alguma função de seu valor anterior, X (t-1), além de algum erro aleatório inexplicável, E (t). Se o valor estimado de A (1) fosse de .30, então o valor atual da série ficaria relacionado a 30 de seu valor 1 há. Claro, a série poderia estar relacionada a mais do que apenas um valor passado. Por exemplo, X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Isso indica que o valor atual da série é uma combinação dos dois valores imediatamente precedentes, X (t-1) e X (t-2), além de algum erro aleatório E (t). Nosso modelo é agora um modelo de ordem autorregressivo 2. Modelos médios em movimento: um segundo tipo de modelo Box-Jenkins é chamado de modelo de média móvel. Embora esses modelos pareçam muito parecidos com o modelo AR, o conceito por trás deles é bastante diferente. Os parâmetros médios em movimento relacionam o que acontece no período t apenas com os erros aleatórios ocorridos em períodos passados, ou seja, E (t-1), E (t-2), etc., em vez de X (t-1), X ( T-2), (Xt-3) como nas abordagens autorregressivas. Um modelo de média móvel com um termo de MA pode ser escrito da seguinte forma. X (t) - B (1) E (t-1) E (t) O termo B (1) é chamado de MA da ordem 1. O sinal negativo na frente do parâmetro é usado somente para convenção e geralmente é impresso Automaticamente pela maioria dos programas de computador. O modelo acima simplesmente diz que qualquer valor dado de X (t) está diretamente relacionado apenas ao erro aleatório no período anterior, E (t-1) e ao termo de erro atual, E (t). Como no caso de modelos autorregressivos, os modelos de média móvel podem ser estendidos a estruturas de ordem superior cobrindo combinações diferentes e comprimentos médios móveis. A metodologia ARIMA também permite a criação de modelos que incorporam parâmetros de média autorregressiva e móvel em conjunto. Estes modelos são frequentemente referidos como modelos mistos. Embora isso faça para uma ferramenta de previsão mais complicada, a estrutura pode simular a série melhor e produzir uma previsão mais precisa. Os modelos puros implicam que a estrutura consiste apenas em parâmetros AR ou MA - e não em ambos. Os modelos desenvolvidos por esta abordagem geralmente são chamados de modelos ARIMA porque eles usam uma combinação de autoregressivo (AR), integração (I) - referente ao processo reverso de diferenciação para produzir as operações de previsão e média móvel (MA). Um modelo ARIMA geralmente é declarado como ARIMA (p, d, q). Isso representa a ordem dos componentes autorregressivos (p), o número de operadores de diferenciação (d) e a ordem mais alta do termo médio móvel. Por exemplo, ARIMA (2,1,1) significa que você tem um modelo autoregressivo de segunda ordem com um componente de média móvel de primeira ordem, cuja série foi diferenciada uma vez para induzir a estacionararia. Escolhendo a especificação correta: o principal problema no clássico Box-Jenkins está tentando decidir qual a especificação ARIMA para usar - i. e. Quantos parâmetros AR e ou MA devem incluir. Isto é o que muito de Box-Jenkings 1976 foi dedicado ao processo de identificação. Dependia da avaliação gráfica e numérica da autocorrelação da amostra e das funções de autocorrelação parcial. Bem, para os seus modelos básicos, a tarefa não é muito difícil. Cada um tem funções de autocorrelação que se parecem de uma certa maneira. No entanto, quando você aumenta a complexidade, os padrões não são facilmente detectados. Para tornar as questões mais difíceis, seus dados representam apenas uma amostra do processo subjacente. Isso significa que erros de amostragem (outliers, erro de medição, etc.) podem distorcer o processo de identificação teórica. É por isso que a modelagem ARIMA tradicional é uma arte e não uma ciência. Modelos ARMA e ARIMA (Box-Jenkins) Modelos ARMA e ARIMA (Box-Jenkins) Nas seções anteriores, vimos como o valor de uma série temporal univariada no tempo t . X t. Pode ser modelado usando uma variedade de expressões médias móveis. Nós também mostramos que componentes como tendências e periodicidade na série temporal podem ser modelados explicitamente e / ou separados, com os dados sendo decompostos em componentes de tendência, sazonal e residual. Também mostramos, nas discussões anteriores sobre autocorrelação. Que os coeficientes de autocorrelação total e parcial são extremamente úteis na identificação e modelagem de padrões em séries temporais. Esses dois aspectos da análise e modelagem de séries temporais podem ser combinados em uma estrutura de modelagem geral mais geral e, muitas vezes, muito efetiva. Na sua forma básica, esta abordagem é conhecida como modelagem ARMA (média móvel autorregressiva), ou quando a diferenciação está incluída no procedimento, modelagem ARIMA ou Box-Jenkins, após os dois autores que foram fundamentais para o seu desenvolvimento (ver Caixa amp Jenkins, 1968 BOX1 e Caixa, Jenkins ampère Reinsel, 1994 BOX2). Não há uma regra fixa quanto ao número de períodos de tempo necessários para um exercício de modelagem bem sucedido, mas para modelos mais complexos e para uma maior confiança nos procedimentos de ajuste e validação, muitas vezes são recomendadas séries com 50 etapas de tempo. Os modelos ARMA combinam métodos de autocorrelação (AR) e médias móveis (MA) em um modelo composto das séries temporais. Antes de considerar como esses modelos podem ser combinados, examinamos cada um separadamente. Já vimos que os modelos de média móvel (MA) podem ser usados para proporcionar um ajuste adequado a alguns conjuntos de dados e as variações nesses modelos que envolvem o suavização exponencial dupla ou tripla podem lidar com componentes de tendência e periódicos nos dados. Além disso, esses modelos podem ser usados para criar previsões que imitam o comportamento de períodos anteriores. Uma forma simples de tais modelos, com base em dados anteriores, pode ser escrita como: Onde os termos beta i são os pesos aplicados aos valores anteriores na série temporal, e é usual definir beta i 1, sem perda de generalidade. Então, para um processo de primeira ordem, q 1 e temos o modelo: ou seja, o valor médio móvel é estimado como uma média ponderada dos valores passados atual e imediato. Esse processo de média é, em certo sentido, um mecanismo pragmático de suavização sem um link direto para um modelo estatístico. No entanto, podemos especificar um modelo estatístico (ou estocástico) que abraça os procedimentos de médias móveis em conjunto com processos aleatórios. Se deixarmos um conjunto de variáveis aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica (um processo aleatório) com variável zero e média conhecida, podemos escrever o processo como uma média móvel da ordem q em termos de: Claramente, o valor esperado de xt em Este modelo é 0, então o modelo só é válido se o xt já tiver sido ajustado para ter uma média zero ou se uma constante fixa (a média do xt) for adicionada à soma. Também é evidente que a variância de xt é simplesmente: a análise acima pode ser estendida para avaliar a covariância, cov (x t. Xtk), que encontramos rendimentos: Note que nem o valor médio, nem a covariância (ou autocovariância) No intervalo k é uma função do tempo, t. Então o processo é estacionário de segunda ordem. A expressão acima nos permite obter uma expressão para a função de autocorrelação (acf): se k 0 rho k 1 e para k gt q rho k 0. Além disso, o acf é simétrico e rho k rho - k. O acf pode ser calculado para um processo de MA de primeira ordem: O componente autorregressivo ou AR de um modelo ARMA pode ser escrito na forma: onde os termos em são coeficientes de autocorrelação em atrasos 1,2. P e z t é um termo de erro residual. Observe que este termo de erro se refere especificamente ao período de tempo atual, t. Assim, para um processo de primeira ordem, p 1 e temos o modelo: Essas expressões indicam que o valor estimado de x no tempo t é determinado pelo valor imediatamente anterior de x (ou seja, no tempo t -1) multiplicado por uma medida, alfa . Da medida em que os valores para todos os pares de valores em períodos de tempo paralelamente 1 separados estão correlacionados (isto é, sua autocorrelação), além de um termo de erro residual, z. No tempo t. Mas esta é precisamente a definição de um processo de Markov. Então um processo Markov é um processo autoregressivo de primeira ordem. Se alfa 1, o modelo afirma que o próximo valor de x é simplesmente o valor anterior mais um termo de erro aleatório e, portanto, é uma caminhada aleatória simples de 1D. Se houver mais termos, o modelo estima o valor de x no tempo t por uma soma ponderada desses termos mais um componente de erro aleatório. Se substituímos a segunda expressão acima no primeiro, temos: e a aplicação repetida desses rendimentos de substituição: agora, se alfa lt1 e k é grande, essa expressão pode ser escrita na ordem inversa, com termos decrescentes e com contribuição do termo Em x no lado direito da expressão tornando-se cada vez mais pequeno, então temos: Como o lado direito desta expressão é o modelo xt como a soma de um conjunto ponderado de valores anteriores, neste caso termos de erro aleatório, é claro que Este modelo de AR é, de fato, uma forma de modelo de MA. E se assumirmos que os termos de erro têm variância média e variável constante, então, como no modelo MA, temos o valor esperado do modelo como também 0, assumindo que o xt foi ajustado para fornecer uma média zero, com variância: Agora como Enquanto Alpha lt1 este somatório é finito e é simplesmente 1 (1-alfa), então temos: Tal como acontece com o modelo MA acima, esta análise pode ser estendida para avaliar a covariância, cov (x t. X tk) de um primeiro Ordem de processo AR, que encontramos rendimentos: Para alfa lt1, este somatório é finito e é simplesmente alfa k (1- alfa 2), então temos: Isso demonstra que, para um modelo autoregressivo de primeira ordem, a função de autocorrelação (acf) é simplesmente definida Por potências sucessivas da autocorrelação de primeira ordem, com a condição alpha lt1. Para alfa gt0, esta é simplesmente uma potência que diminui rapidamente ou uma curva exponencial, tendendo para zero, ou para lt0 é uma curva oscilante de amortecimento, novamente tendendo para zero. Se for feita uma suposição de que as séries temporais estão estacionárias, a análise acima pode ser estendida para autocorrelações de segunda e alta ordem. Para ajustar um modelo de AR a um conjunto de dados observado, procuramos minimizar a soma de erros quadrados (um ajuste de mínimos quadrados) usando o menor número de termos que proporcionam um ajuste satisfatório aos dados. Modelos deste tipo são descritos como auto - gressivos. E pode ser aplicado tanto a séries temporais quanto a conjuntos de dados espaciais (veja modelos de autoregressão espacial). Embora, em teoria, um modelo autorregressivo possa fornecer um ajuste adequado a um conjunto de dados observado, geralmente exigiria remoção prévia e tendência e componentes periódicos, e mesmo assim, talvez precisasse de uma grande quantidade de termos, a fim de proporcionar um bom ajuste aos dados. No entanto, ao combinar os modelos AR com modelos MA, podemos produzir uma família de modelos mistos que podem ser aplicados em uma ampla gama de situações. Esses modelos são conhecidos como modelos ARMA e ARIMA e são descritos nas seguintes subseções. Nas duas subseções anteriores, introduzimos o modo de ordem MA q: e o modelo AR da ordem p: Podemos combinar esses dois modelos simplesmente adicionando-os como um modelo de ordem (p. Q), onde temos termos p AR E q termos MA: Em geral, essa forma de modelo ARMA combinado pode ser usada para modelar uma série de tempo com menos termos em geral do que um MA ou um modelo AR por eles mesmos. Ele expressa o valor estimado no tempo t como a soma de q termos que representam a variação média de variação aleatória em q períodos anteriores (o componente MA), mais a soma dos termos p AR que calculam o valor atual de x como a soma ponderada Dos mais recentes valores. No entanto, esta forma de modelo pressupõe que a série temporal é estacionária, o que raramente é o caso. Na prática, tendências e periodicidade existem em muitos conjuntos de dados, então é necessário remover esses efeitos antes de aplicar esses modelos. A remoção é geralmente realizada ao incluir no modelo um estágio de diferenciação inicial, tipicamente uma vez, duas ou três vezes, até que a série seja pelo menos aproximadamente estacionária - não exibindo tendências ou periodicidades óbvias. Tal como acontece com os processos MA e AR, o processo de diferenciação é descrito pela ordem de diferenciação, por exemplo, 1, 2, 3. Coletivamente, esses três elementos compõem um triplo: (p. D. Q) que define o tipo de modelo aplicado. Nesta forma, o modelo é descrito como um modelo ARIMA. A letra I em ARIMA refere-se ao fato de que o conjunto de dados foi inicialmente diferenciado (ver diferenciação) e quando a modelagem é completa, os resultados devem ser somados ou integrados para produzir as estimativas e previsões finais. A modelagem ARIMA é discutida abaixo. Conforme observado na subseção anterior, combinar a diferenciação de uma série temporal não estacionária com o modelo ARMA fornece uma poderosa família de modelos que podem ser aplicados em uma ampla gama de situações. O desenvolvimento desta forma estendida de modelo é em grande parte devido a G E P Box e G M Jenkins e, como resultado, os modelos ARIMA também são conhecidos como modelos Box-Jenkins. O primeiro passo no procedimento Box-Jenkins é diferenciar as séries temporais até ficar estacionário, garantindo assim que a tendência e os componentes sazonais sejam removidos. Em muitos casos, uma ou duas fases de diferenciação é suficiente. A série diferenciada será mais curta do que a série fonte por etapas de tempo c, onde c é o intervalo da diferenciação. Um modelo ARMA é ajustado às séries temporais resultantes. Como os modelos ARIMA possuem três parâmetros, existem muitas variações para os possíveis modelos que podem ser instalados. No entanto, a decisão sobre o que esses parâmetros devem ser pode ser guiada por uma série de princípios básicos: (i) o modelo deve ser o mais simples possível, ou seja, conter o menor número possível de termos, o que, por sua vez, significa os valores de p e q Deve ser pequeno (ii) o ajuste aos dados históricos deve ser tão bom quanto possível, ou seja, o tamanho das diferenças quadradas entre o valor estimado em qualquer período passado e o valor real, deve ser minimizado (princípio dos mínimos quadrados) - os resíduos Do modelo selecionado pode então ser examinado para ver se os resíduos restantes são significativamente diferentes de 0 (veja mais adiante, abaixo) (iii) a autocorrelação parcial medida em atrasos 1,2,3. Deve fornecer uma indicação da ordem do componente AR, ou seja, o valor escolhido para q (iv) o formato da função de autocorrelação (acf) pode sugerir o tipo de modelo ARIMA necessário - a tabela abaixo (do NIST) fornece orientação sobre Interpretando a forma do acf em termos de seleção do modelo. ARIMA Seleção do tipo de modelo usando forma acf A série não é estacionária. Os modelos ARIMA padrão são freqüentemente descritos pelo triplo: (p. D. Q) como observado acima. Estes definem a estrutura do modelo em termos da ordem de AR, diferenciação e modelos MA para serem usados. Também é possível incluir parâmetros semelhantes para a sazonalidade nos dados, embora esses modelos sejam mais complexos para se adequarem e interpretarem - as tripas (P. D. Q) geralmente são usadas para identificar esses componentes do modelo. Na captura de tela do SPSS mostrado abaixo, o diálogo para seleção manual de elementos estruturais não sazonais e sazonais é exibido (instalações similares estão disponíveis em outros pacotes integrados, como SASETS). Como pode ser visto, o diálogo também permite que os dados sejam transformados (geralmente para auxiliar na estabilização de variância) e para permitir que os usuários incluam uma constante no modelo (o padrão). Esta ferramenta de software particular permite detectar atípicos, se necessário, de acordo com uma série de procedimentos de detecção, mas em muitos casos outliers serão investigados e ajustados ou removidos e valores de substituição estimados antes de qualquer análise. SPSS Time Series Modeler: modelo ARIMA, modo especialista. Uma série de modelos ARIMA podem ser instalados nos dados, manualmente ou através de um processo automatizado (por exemplo, um processo gradual) e uma ou mais medidas usadas para avaliar qual é o melhor em termos de Ajuste e parcimônia. A comparação do modelo geralmente faz uso de uma ou mais das medidas teóricas da informação descritas anteriormente neste manual - AIC, BIC e ou MDL (a função R, arima (), fornece a medida AIC, enquanto a SPSS fornece uma gama de medidas de ajuste, incluídas uma A versão da estatística BIC outras ferramentas variam nas medidas fornecidas - Minitab. Que fornece uma variedade de métodos TSA, não inclui estatísticas de tipo AICBIC). Na prática, uma ampla gama de medidas (ou seja, além de além das medidas baseadas em mínimos quadrados) podem ser usadas para avaliar a qualidade do modelo. Por exemplo, o erro absoluto médio e o erro absoluto absoluto podem ser medidas úteis, pois mesmo um mínimo O ajuste de quadrados pode ainda ser fraco em alguns lugares. Uma série de pacotes de software também pode fornecer uma medida geral da autocorrelação que pode permanecer nos resíduos após o ajuste do modelo. Uma estatística freqüentemente aplicada é devido a Ljung e Box (1978 LJU1) e É da forma: onde n é o número de amostras (valores de dados), ri é a autocorrelação de amostra no intervalo i. E k é o número total de atrasos sobre os quais a computação é realizada. Q k é aproximadamente distribuído como um chi - distribuição quadrada com graus de liberdade k - m, onde m é o número de parâmetros utilizados na montagem do modelo, excluindo qualquer termo constante ou variáveis preditoras (isto é, apenas incluindo os triplos de pd q). Se a medida é estatisticamente significativa Indica que os resíduos ainda contêm autocorrelação significativa após o modelo ter sido montado, sugerindo que um modelo melhorado deveria ser procurado. Exemplo: Modelando o crescimento do número de passageiros de companhias aéreas O seguinte é um exemplo de montagem automatizada, usando o SPSS para os dados do teste Box-Jenkins-Reinsel dos números de passageiros da companhia aérea REI1 fornecidos anteriormente neste Manual. Inicialmente, nenhuma especificação das datas foram meses dentro de anos foi especificada. O modelo selecionado pelo processo automatizado foi um modelo ARIMA (0,1,12), ou seja, o processo identificou corretamente que a série exigia um nível de diferenciação e aplicava um modelo médio móvel com uma periodicidade de 12 e nenhum componente de autocorrelação para caber dados. O modelo de ajuste produziu um valor R 2 de 0.966, que é muito alto e um erro absoluto absoluto (MAE) de 75. O ajuste visual do modelo aos dados parece excelente, mas o enredo da autocorrelação residual após o encaixe e Ljung O teste de caixa mostra que a autocorrelação significativa permanece, indicando que um modelo melhorado é possível. ARIMA automatizado para passageiros da linha aérea internacional: totais mensais, 1949-1960 Para investigar isso, um modelo revisado foi ajustado, com base na discussão desse conjunto de dados por Box e Jenkins (1968) e a edição atualizada do livro Chatfields (1975 CHA1) em Que ele usou o Minitab para ilustrar sua análise (6a edição, 2003). A série temporal foi definida como tendo uma periodicidade de 12 meses e um modelo ARIMA com componentes (0,1,1), (0,1,1). Gráficamente, os resultados parecem muito semelhantes ao gráfico acima, mas com este modelo o R-squared é 0.991, o MAE41 e a estatística de Ljung-Box não são mais significantes (12.6, com 16 graus de liberdade). O modelo é, portanto, uma melhoria na versão original (gerada automaticamente), sendo composta por um MA não-sazonal e um componente de MA sazonal, nenhum componente autorregressivo e um nível de diferenciação para as estruturas sazonais e não sazonais. Se o encaixe é manual ou automatizado, um modelo ARIMA pode fornecer uma boa estrutura para modelar uma série temporal, ou pode ser que os modelos ou abordagens alternativas ofereçam um resultado mais satisfatório. Muitas vezes, é difícil saber com antecedência quanto é bom o modelo de previsão dado, uma vez que é somente à luz de sua capacidade de prever valores futuros da série de dados que pode ser verdadeiramente julgado. Muitas vezes, este processo é aproximado, ajustando o modelo aos dados passados, excluindo os períodos de tempo recentes (também conhecidos como amostras de retenção) e, em seguida, usando o modelo para prever esses eventos futuros conhecidos, mas mesmo isso oferece apenas uma confiança limitada em sua validade futura. A previsão de longo prazo pode ser extremamente pouco confiável usando esses métodos. Claramente, o modelo de estatísticas de tráfego aéreo internacional descrito acima não é capaz de prever corretamente os números dos passageiros até a década de 1990 e além, nem a queda de 5 anos nos números de passageiros das companhias aéreas internacionais dos EUA, antes do 9112001. Da mesma forma, um modelo ARIMA pode ser ajustado a valores históricos Dos preços da bolsa de valores ou dos valores do índice (por exemplo, os índices NYSE ou FTSE) e normalmente proporcionará um ajuste excelente aos dados (obtendo um valor R-quadrado superior a 0,99), mas são freqüentemente pouco úteis para prever os valores futuros desses preços Ou índices. Normalmente, os modelos ARIMA são usados para previsão, particularmente no campo da modelagem macro e microeconômica. No entanto, eles podem ser aplicados em uma ampla gama de disciplinas, seja na forma descrita aqui, ou aumentadas com variáveis de preditores adicionais que acreditam melhorar a confiabilidade das previsões feitas. Estes últimos são importantes porque toda a estrutura dos modelos ARMA discutidos acima depende de valores prévios e eventos aleatórios independentes ao longo do tempo, e não em fatores explicativos ou causais. Daí, os modelos ARIMA apenas refletirão e estenderão os padrões passados, o que talvez precise ser modificado nas previsões por fatores como o ambiente macroeconômico, as mudanças de tecnologia ou o recurso a longo prazo e as mudanças ambientais. BOX1 Box G E P, Jenkins G M (1968). Alguns avanços recentes em previsão e controle. Estatística Aplicada, 17 (2), 91-109 BOX2 Box, G E P, Jenkins, G M, Reinsel G C (1994) Time Series Analysis, Forecasting and Control. 3ª ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ CHA1 Chatfield C (1975) The Analysis of Times Series: Theory and Practice. Chapman and Hall, Londres (ver também, 6º ed., 2003) LJU1 Ljung G M, Box G E P (1978) Em uma medida de falta de modelos em série Time Series. Biometrika, 65, 297303 NISTSEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, itl. nist. govdiv898handbook Seção 6.4: Introdução às séries temporais. 2010 SPSSPASW 17 (2008) AnalyzeForecasting (Modelos de séries temporais) REI1 Reinsel G C Datasets para modelos Box-Jenkins: stat. wisc. edu
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